Դասարանական առաջադրանքներ՝ 421-ա,գ; 422; 424; 427-ա; 428
Լրացուցիչ առաջադրանքներ՝ 421-բ,դ; 423; 425; 426; 429
421. ա)
բ)
գ)
դ)
422.
Լուծում
423.
424.
428. Գտեք այն գնդային մակերևույթի մակերեսը, որն առաջանում է 16 սմ տրամագծով կիսաշրջանագծի պտտումից տրամագծի շուրջը:
Տեսություն՝
Գլան
Գիտենք, որ գլանը առաջանում է ուղղանկյան՝ իր կողմերից մեկի շուրջ պտտումից:
Պտտելով ներքևի AA1O1O ուղղանկյունը իր կողմերից որևէ մեկի, օրինակ՝ OO1-ի շուրջ, ստանում ենք պատկերված գլանը:
OO1 հատվածը կոչվում է գլանի բարձրություն, AA1-ը և BB1-ը՝ ծնորդներ:
Պտտման ընթացքում առաջացած երկու շրջանները կոչվում են գլանի հիմքեր:
Գլանի բարձրությունով անցնող հարթության և գլանի ընդհանուր մասը կոչվում է գլանի առանցքային հատույթ: Գլանի առանցքային հատույթը ուղղանկյուն է:
Վերևի նկարում դա AA1B1B ուղղանկյունն է:
Գլանի կողմնային մակերևույթի բացվածքը ևս ուղղանկյուն է:
Այդ ուղղանկյան կողմերից մեկը հիմքի շրջանագծի երկարությունն է, իսկ մյուսը՝ գլանի բարձրությունը: Ուրեմն, գլանի կողմնային մակերևույթի (կամ գլանային մակերևույթի) մակերեսը հավասար է՝
Sկողմն=2πRH
Եթե սրան գումարենք երկու հիմքերի մակերեսները, ապա կստանանք գլանի լրիվ մակերևույթի մակերեսը՝
S=Sկողմն+2Sհիմք=2πRH+2πR2
Եթե փակագծերից դուրս բերենք ընդհանուր արտադրիչները, կստանանք՝
S=2πR⋅(H+R)
Կոն
Գիտենք, որ կոնը կարելի է ստանալ՝ պտտելով ուղղանկյուն եռանկյունը իր էջերից որևէ մեկի շուրջ:
PO հատվածը կոչվում է կոնի բարձրություն:
Կոնի առանցքային հատույթը, որն անցնում է նրա գագաթով, հանդիսանում է PA և PB սրունքներով հավասարասրուն եռանկյուն: PA-ն և PB-ն կոչվում են կոնի ծնորդներ և նշանակվում են l տառով:
Եռանկյան պտույտից առաջացած O կենտրոնով շրջանը կոչվում է կոնի հիմք:
Կոնի շառավիղ կոչվում է նրա հիմքի R=OA=OB շառավիղը:
Կոնի կողմնային մակերևույթի բացվածքը շրջանային սեկտոր է:
Այդ սեկտորի շառավիղը հավասար է կոնի ծնորդին՝ l-ի, իսկ աղեղի երկարությունը հավասար է կոնի հիմքի շրջանագծի երկարությանը՝ 2πR
Ինչպես գիտենք, շրջանային սեկտորի մակերեսը հավասար է նրա շառավղի և աղեղի երկարության արտադրյալի կեսին:
Ստանում ենք՝
2πR⋅l/2=πRl
Այսպիսով, կոնի կողմնային մակերևույթի (կոնային մակերևույթի) մակերեսը հաշվում են Sկողմն=πRl բանաձևով:
Լրիվ մակերևույթի մակերեսը ստանալու համար պետք է գումարել հիմքի շրջանի մակերեսը՝
S=Sկողմն+Sհիմք=πRl+πR2
Փակագծերից դուրս բերելով ընդհանուր արտադրիչները, ստանում ենք՝
S=πR⋅(l+R)
Գնդային մակերևույթի մակերեսը
Գունդը ստացվում է կիսաշրջանի կամ շրջանի պտույտի միջոցով՝ իր AB տրամագծի շուրջ:
Գնդի մակերևույթը (գնդային մակերևույթը) կոչվում է գնդոլորտ (սֆերա):
Գնդոլորտը ստացվում է կիսաշրջանագծի կամ շրջանագծի պտույտի միջոցով:
Գնդոլորտին են պատկանում գնդի բոլոր այն կետերը, որոնց հեռավորությունը գնդի O կենտրոնից հավասար է R շառավղին:
OA-ն, OB-ն և OC-ն, կամ ցանկացած այլ հատված, որը միացնում է գնդոլորտի կետը գնդի կենտրոնի հետ կոչվում է գնդի շառավիղ:
Գնդի երկու կետեր միացնող հատվածը, որն անցնում է գնդի կենտրոնով, կոչվում է գնդի տրամագիծ: Վերևի նկարում դա AB հատվածն է:
Կենտրոնով անցնող գնդի հատույթը կոչվում է մեծ շրջան, իսկ գնդոլորտի հատույթը՝ մեծ շրջանագիծ:
Ի տարբերություն գլանային և կոնային մակերևույթների, գնդային մակերևույթը հնարավոր չէ փռել այնպես, որ ստացվի հարթ պատկեր: Այս հարցին դեռ կանդրադառնանք ավագ դպրոցում:
Այստեղ միայն նշենք, որ R շառավղով գնդային մակերևույթի մակերեսը հաշվում են հետևյալ բանաձևով՝
S=4πR2
Դասարանական առաջադրանքներ՝ 414-ա,գ; 415; 417; 419
Լրացուցիչ առաջադրանքներ՝ 414-բ,դ; 416; 418; 420
417. Գլանի հիմքի տրամագիծը 1մ է, իսկ բարձրությունը հավասար է հիմքի շրջանագծի երկարությանը: Գտեք գլանի կողմնային մակերևույթի մակերեսը:
418. Գլանաձև ցիստեռնը, որի մեջ հիմքի տրամագիծը 2մ է, բարձրությունը ՝ 2,5մ, անհրաժեշտ է ներսից ամբողջությամբ ներկել: Այդ նպատակով քանի՞ տուփ ներկ է պետք ունենալ, եթե տուփերից յուրաքանչյուրը նախատեսված է 2մ2 մակերես ներկելու համար:
419. Որքա՞ն մակերեսով մետաղաթիթեղ է անհրաժեշտ, որպեսզի պատրաստեն 4մ երկարությամբ և 20 սմ տրամագծով խողովակ, եթե կարերի համար հարկավոր է ավելացնել նրա կողմնային մակերևույթի մակերեսի 2,5%-ը:
428. Գտեք այն գնդային մակերևույթի մակերեսը, որն առաջանում է 16 սմ տրամագծով կիսաշրջանագծի պտտումից տրամագծի շուրջը:
429. Լուսնի տրամագիծը կազմվում է (մոտավորապես) Երկրի տրամագծի քառորդ մասը: Դիտելով որպես գնդեր ՝ համեմատեք Լուսնի և Երկրի մակերևույթների մակերեսը:
430. Որքա՞ն մակերեսով կաշի է անհրաժեշտ 10 սմ շառավիղով գնդակ կարելու համար (կարերի համար ավելացնել գնդակի մակերևույթի մակերեսի 8%-ը):
Տեսություն՝
Շրջանագծի երկարությունը
Յուրաքանչյուր շրջանագծի երկարության և նրա տրամագծի հարաբերությունը միևնույն թիվն է բոլոր շրջանագծերի համար:
Այդ թիվն ընդունված է նշանակել հունարեն π («պի») տառով: Այդ թվում ստորակետից հետո կան անվերջ թվով թվանշաններ, որոնց հերթականությունը չի կրկնվում:
Հիշենք, որ այդպիսի թվերը կոչվում են իռացիոնալ թվեր:
Մեր ժամանակներում, հաշվողական տեխնոլոգիաների զարգացման արդյունքում, հաջողվում է հաշվել բազմաթիվ թվանշաններ՝ ստորակետից հետո: Կախված պահանջվող ճշտությունից, π թիվը կլորացնում են մինչև ամբողջը՝ π≈3
Ամենահաճախը օգտագործվում է π թվի կլորացված արժեքը հարյուրավորների ճշտությամբ՝ π≈3,14:
Հետաքրքիր է, որ մարտի (3-րդ ամիսը) 14-ին աշխարհում ոչ պաշտոնապես նշվում է π թվի օրը և անցկացվում են մաթեմատիկական մրցույթներ ու այլ հետաքրքիր իրադարձություններ:
Շրջանագծի երկարությունը ընդունված է նշանակել C տառով: Հիշենք, որ շրջանագծի տրամագիծը (շառավղի կրկնապատիկը) նշանակում են՝ D=2R
Հետևաբար, շրջանագծի երկարությունը հաշվում են C=π⋅D կամ C=2π⋅R բանաձևերով:
Քանի որ ամբողջ շրջանագծի երկարությունը հավասար է C=2π⋅R, ապա 1° աստիճանի աղեղի երկարությունը կլինի՝ 2πR/360°=πR/180°
Հետևաբար, α աստիճանային չափով ∪AB=l աղեղի երկարությունը կլինի՝ l=πR/180°⋅α
Դասարանական առաջադրանքներ՝ 391; 393; 395; 398
Լրացուցիչ առաջադրանքներ՝ 392; 394; 396; 399
.
391. Լուծում
393.
Լուծում
394.
395.
396.
Լուծում
398.
Լուծում
399.
Դասարանական առաջադրանքներ՝ 421-ա,գ; 422; 424; 427-ա; 428
Լրացուցիչ առաջադրանքներ՝ 421-բ,դ; 423; 425; 426; 429
421. ա)
բ)
գ)
դ)
422.
Լուծում
423.
424.
428. Գտեք այն գնդային մակերևույթի մակերեսը, որն առաջանում է 16 սմ տրամագծով կիսաշրջանագծի պտտումից տրամագծի շուրջը:
Տեսություն՝
Գլան
Գիտենք, որ գլանը առաջանում է ուղղանկյան՝ իր կողմերից մեկի շուրջ պտտումից:
Պտտելով ներքևի AA1O1O ուղղանկյունը իր կողմերից որևէ մեկի, օրինակ՝ OO1-ի շուրջ, ստանում ենք պատկերված գլանը:
OO1 հատվածը կոչվում է գլանի բարձրություն, AA1-ը և BB1-ը՝ ծնորդներ:
Պտտման ընթացքում առաջացած երկու շրջանները կոչվում են գլանի հիմքեր:
Գլանի բարձրությունով անցնող հարթության և գլանի ընդհանուր մասը կոչվում է գլանի առանցքային հատույթ: Գլանի առանցքային հատույթը ուղղանկյուն է:
Վերևի նկարում դա AA1B1B ուղղանկյունն է:
Գլանի կողմնային մակերևույթի բացվածքը ևս ուղղանկյուն է:
Այդ ուղղանկյան կողմերից մեկը հիմքի շրջանագծի երկարությունն է, իսկ մյուսը՝ գլանի բարձրությունը: Ուրեմն, գլանի կողմնային մակերևույթի (կամ գլանային մակերևույթի) մակերեսը հավասար է՝
Sկողմն=2πRH
Եթե սրան գումարենք երկու հիմքերի մակերեսները, ապա կստանանք գլանի լրիվ մակերևույթի մակերեսը՝
S=Sկողմն+2Sհիմք=2πRH+2πR2
Եթե փակագծերից դուրս բերենք ընդհանուր արտադրիչները, կստանանք՝
S=2πR⋅(H+R)
Կոն
Գիտենք, որ կոնը կարելի է ստանալ՝ պտտելով ուղղանկյուն եռանկյունը իր էջերից որևէ մեկի շուրջ:
PO հատվածը կոչվում է կոնի բարձրություն:
Կոնի առանցքային հատույթը, որն անցնում է նրա գագաթով, հանդիսանում է PA և PB սրունքներով հավասարասրուն եռանկյուն: PA-ն և PB-ն կոչվում են կոնի ծնորդներ և նշանակվում են l տառով:
Եռանկյան պտույտից առաջացած O կենտրոնով շրջանը կոչվում է կոնի հիմք:
Կոնի շառավիղ կոչվում է նրա հիմքի R=OA=OB շառավիղը:
Կոնի կողմնային մակերևույթի բացվածքը շրջանային սեկտոր է:
Այդ սեկտորի շառավիղը հավասար է կոնի ծնորդին՝ l-ի, իսկ աղեղի երկարությունը հավասար է կոնի հիմքի շրջանագծի երկարությանը՝ 2πR
Ինչպես գիտենք, շրջանային սեկտորի մակերեսը հավասար է նրա շառավղի և աղեղի երկարության արտադրյալի կեսին:
Ստանում ենք՝
2πR⋅l/2=πRl
Այսպիսով, կոնի կողմնային մակերևույթի (կոնային մակերևույթի) մակերեսը հաշվում են Sկողմն=πRl բանաձևով:
Լրիվ մակերևույթի մակերեսը ստանալու համար պետք է գումարել հիմքի շրջանի մակերեսը՝
S=Sկողմն+Sհիմք=πRl+πR2
Փակագծերից դուրս բերելով ընդհանուր արտադրիչները, ստանում ենք՝
S=πR⋅(l+R)
Գնդային մակերևույթի մակերեսը
Գունդը ստացվում է կիսաշրջանի կամ շրջանի պտույտի միջոցով՝ իր AB տրամագծի շուրջ:
Գնդի մակերևույթը (գնդային մակերևույթը) կոչվում է գնդոլորտ (սֆերա):
Գնդոլորտը ստացվում է կիսաշրջանագծի կամ շրջանագծի պտույտի միջոցով:
Գնդոլորտին են պատկանում գնդի բոլոր այն կետերը, որոնց հեռավորությունը գնդի O կենտրոնից հավասար է R շառավղին:
OA-ն, OB-ն և OC-ն, կամ ցանկացած այլ հատված, որը միացնում է գնդոլորտի կետը գնդի կենտրոնի հետ կոչվում է գնդի շառավիղ:
Գնդի երկու կետեր միացնող հատվածը, որն անցնում է գնդի կենտրոնով, կոչվում է գնդի տրամագիծ: Վերևի նկարում դա AB հատվածն է:
Կենտրոնով անցնող գնդի հատույթը կոչվում է մեծ շրջան, իսկ գնդոլորտի հատույթը՝ մեծ շրջանագիծ:
Ի տարբերություն գլանային և կոնային մակերևույթների, գնդային մակերևույթը հնարավոր չէ փռել այնպես, որ ստացվի հարթ պատկեր: Այս հարցին դեռ կանդրադառնանք ավագ դպրոցում:
Այստեղ միայն նշենք, որ R շառավղով գնդային մակերևույթի մակերեսը հաշվում են հետևյալ բանաձևով՝
S=4πR2
Դասարանական առաջադրանքներ՝ 414-ա,գ; 415; 417; 419
Լրացուցիչ առաջադրանքներ՝ 414-բ,դ; 416; 418; 420
417. Գլանի հիմքի տրամագիծը 1մ է, իսկ բարձրությունը հավասար է հիմքի շրջանագծի երկարությանը: Գտեք գլանի կողմնային մակերևույթի մակերեսը:
418. Գլանաձև ցիստեռնը, որի մեջ հիմքի տրամագիծը 2մ է, բարձրությունը ՝ 2,5մ, անհրաժեշտ է ներսից ամբողջությամբ ներկել: Այդ նպատակով քանի՞ տուփ ներկ է պետք ունենալ, եթե տուփերից յուրաքանչյուրը նախատեսված է 2մ2 մակերես ներկելու համար:
419. Որքա՞ն մակերեսով մետաղաթիթեղ է անհրաժեշտ, որպեսզի պատրաստեն 4մ երկարությամբ և 20 սմ տրամագծով խողովակ, եթե կարերի համար հարկավոր է ավելացնել նրա կողմնային մակերևույթի մակերեսի 2,5%-ը:
Դասարանական առաջադրանքներ՝ 305-ա,գ,ե; 306-ա,գ; 309; 312-ա,գ; 314-ա,գ; 315-ա,գ
Լրացուցիչ առաջադրանքներ՝ 305-բ,դ; 306-բ,դ; 310; 311; 312-բ; 315-բ,դ
305.
ա)
բ)
գ)
Դասարանական առաջադրանքներ՝ 299; 300-ա,գ; 301-ա,գ; 302-ա,գ;
Լրացուցիչ առաջադրանքներ՝ 298; 300-բ; 301-բ; 302-բ; 303
Տեսություն՝
0² + 1² = 1
(1/2)² + (√3/2)² = 1
(√2/2)² + (√2/2)² = 1
(-√3/2)² + (√1/2)² = 1
1² + 0² = 1
(-1)² + 0² = 1
sin<AOM₁ = 1
cos<AOM₁ = 0
tg<AOM₁ = 1/0 (որոշված չէ)
sin<AOM₂ = √3/2
cos<AOM₂ = 1/2
tg<AOM₂ = √3/2 : 1/2 = √3
sin<AOM₃ = √2/2
cos<AOM₃ = √2/2
tg<AOM₃ = 1
ա․ 1 – sin²α = cos²α = 1/4 => cosα = 1/2
բ․ cos²α = 3/4 => cosα = √3/2
գ․ cos²α = 1 => cosα = 1
ա․ sinα = 0, tgα = 0/1 = 0
բ․ sinα = 1/2, tg = 1/√3 = √3/3
գ․ cosα = √2/2, tg = 1
դ․ cosα = √(1 – (9/25)) = √(16/25) = 4/5
sin120º = sin60º = √3/2
sin135º = sin45º = √2/2
sin150º = sin30º = 1/2
Դասարանական առաջադրանքներ՝ 252; 253-ա; 254; 258; 259
Լրացուցիչ առաջադրանքներ՝ 253-բ,գ; 255; 257; 261
33. Հատվող լարերի հատկությունը
Թերորեմ։ Եթե շրջանագծի երկու լարեր հատվում են, ապա մի լարի հատվածների արտադրյալը հավասար է մյուս լարի հատվածների արտադրյալին։
Հետևանք 1։ Եթե շրջանագծի ներսում վերցրած որևէ կետով տարված են ցանկացած թվով լարեր, ապա յուրաքանչյուր լարի հատվածների արտադրյալը հաստատուն է այդ բոլոր լարերի համար։
Հետևանք 2։ Շրջանագծի վրա վերցված կետից տրամագծին տարված ուղղահայացը հավասար թ տրամագծի՝ այդ ուղղահայացի հետ հատումից առաջացած երկու հատվածների համեմատական միջինին։
34. Շրջանագծի հատողի և շոշոփողի հատկությունը
Թեորեմ։ Եթե շրջանագծից դուրս վերցված կետից տարված են նրան որևէ հատող և շոշափող, ապա հատողի և նրա արտաքին մասի արտադրյալը հավասար է շոշափողի քառակուսուն։
Հետևանք՝ Եթե շրջանից դուրս վերցրած կետից տարված են այդ շրջանագծին հատողներ, ապա յուրաքանչյուր հատողի և նրա արտաքին մասի արտադրյալը հաստատուն է այդ բոլոր հատողների համար։
Դասարանական առաջադրանքներ՝ 244-ա,գ; 246-ա,գ; 248; 251
ա․ √(12·3) = 6
բ․ √(16·9) = 12
գ․ √(200·50) = √10000 = 100
245. √((40-8)·8) = 16
246. ա․ √(50·8) = 20 15 < 20 – դրսում
բ․ 20 = 20 – շրջանագծի վրա
գ․ 20 < 23 – ներսում
247. OE = OK + 8 -> KF = 2OK + 8, EK = 8
AK · KB = EK · KF -> 20·20 = 8 · (2OK+8)
AK = KB = 20 դմ
400 = 16OK+64
OK = 336/16 = 21
OE = 21 + 8 = 29
248. 24*14 = 336 = x(28-x)
Դասարանական առաջադրանքներ՝ 224; 226-ա,գ; 228-ա,գ; 232
Առաջադրանք 224.
Քանի որ AE‖DE => ∠BAD=∠EDA => ∠AE=ED
ΔACD∼ΔDEC [∠A=∠E, ∠C=∠C, ∠B=∠CDE]
AB/DE=AC/EC
15/x=10/10-x
15(10-x)=10x
150-15x=10x
25x=150
x=6
Պատ.՝ AE=DE=6 (սմ), EC=10-6=4 (սմ):
Առաջադրանք 226.
ա) AB=AD-BD=22-8=14(սմ)
AB/BD=AC/CE
14/8=AC/10
AC=14·10/8=17,5(սմ)
Պատ.՝ 17,5 սմ:
գ) ΔABC∼ΔADE =>
AD/AB=DE/BC
3x/2x=12/BC=1,5
BC=12/1,5=8
Պատ.՝ 1,5 սմ, 8 սմ:
Տիգրան Սաղաթելյան, 9-4 դասարան 